일반적으로 모집단의 평균을 모르는 상황이라면 모분산 역시 알 수 없다고 보는 것이 상식적이므로 모분산 대신 표본분산을 사용하게 됩니다. 표본분산 s2을 사용하는 이유는 s2의 평균이 모분산이 되고 표본크기가 증가할수록 모분산에 근사하기 때문입니다. 표본분산의 분모가 표본크기가 아닌 표본크기에서 1을 차감한 수를 사용하는 이유는 표본평균을 구하는데 표본의 정보를 한번 사용하였기 때문입니다. 표본평균이 정해진 상태에서는 n-1번째 개체의 응답이 결정되면 n번째 개체의 응답은 자동으로 결정됩니다.

모분산이 아닌 표본분산을 사용한 경우에도 독립적이고 동일한 분포를 따르는 확률표본에서 표본크기가 증가할 때 Z는 여전히 근사적으로 평균이 0이고 분산이 1인 표준정규분포를 따릅니다.

신뢰수준의 정의에 따라 P( -Z0.025 ≦ Z ≦ Z0.025 )=P( -1.96 ≦ Z ≦ 1.96 )=0.95가 성립하고, 확률을 나타내는 함수 P(  ) 괄호안의 식을 모평균에 대하여 정리하면 아래와 같은 수식을 얻게 되고 이를 모평균 의 95% 신뢰구간이라고 합니다.

모평균 μ의 95% 신뢰구간 : 

관심 있는 모수의 참값이 포함하고 있을 것으로 예상하는 구간을 신뢰구간이라고 하며, 신뢰구간이 관심 있는 모수의 참값을 포함할 것으로 신뢰하는 확률을 신뢰수준이라고 부르게 됩니다. 오차한계를 폭넓게 허용하면 신뢰수준이 증가하는 것처럼 신뢰구간의 폭을 넓히면 신뢰수준 역시 높아지게 됩니다. 신뢰수준을 100%라고 한다면 -무한대에서 +무한대까지의 값이 신뢰구간이 되므로 유의미한 정보를 제공할 수 없기 때문에 수용할 만한 신뢰수준을 정한 후에 신뢰구간을 추정하게 됩니다.

수리적으로 평균과 동일한 개념인 모비율의 추정에 대해서도 알아보겠습니다. 표본크기가 크고 모비율이 작지 않은 경우 확률표본을 추출하면 중심극한정리에 의해 표본비율은 정규분포에 근사합니다. 신뢰수준 95% 하에서 가상의 도시의 시장 출마 후보의 지지율을 추정하기 위해 표본크기 n의 확률표본을 추출한 경우를 생각해 보겠습니다. 후보를 지지하는 응답자의 수를 합한 변수를 X로 정의할 때 =X/n은 표본평균이며 곧 표본비율 즉 표본의 지지율이 됨을 알 수 있습니다. 동일하고 독립적인 분포를 따르는 표본에서 표본수가 충분히 크고 지지율이 0과 1에 가까운 극단적인 값을 가지지 않는다면 표본비율은 평균이 p이고 분산은 p(1-p)/n인 정규분포에 근사합니다. 그런데 p(1-p)/n은 사전적으로 알 수 없으므로 표본비율을 사용한 추정량을 사용하면, 표본크기가 증가할 때 표본비율의 분포는 여전히 정규분포에 근사하게 됩니다.